معمولا در آموزش رياضي و روش‌هاي تفهيم و تدريس مفاهيم رياضي در سطوح مختلف آموزشي، معلمان و اساتيد با تجربه و ماهر سعي مي‌كنند كه از مفاهيم و مثال‌هاي ملموس در زندگي و طبيعت براي توضيح و تشريح و تفهيم مفاهيم رياضي استفاده كنند.

اما اين‌بار در اين نوشته مي‌خواهيم از رياضيات و مفاهيم والاي آن كمك بگيريم تا دايره شناخت و تصورمان را نسبت به ابعاد ديگر هستي و نوع ديگري از موجودات هستي كه مي‌توانند باشند وسعت دهيم و از اين رهگذر يك تحليل و توجيه علمي و رياضي براي خيلي از تصورات و حدس‌هايمان و حتي براي بعضي از اعتقادات كلي  ديني‌مان و فلسفي ‌مان به دست آوريم. براي كساني كه علاقه‌مند به داشتن نوعي تحليل علمي در اين مسائل هستند و از آن مهمتر به دنبال كشف ارتباط‌هاي علمي بين شاخه‌هاي مختلف علوم بشري مثل فلسفه، الهيات، عرفان و رياضيات و فيزيك هستند، مي‌تواند مفيد واقع شود.

يكي از مسائل و سؤالاتي كه عموما نوع بشر و خصوصا دانشمندان، به خصوص دانشمندان علوم طبيعي و فيلسوفان را به خود مشغول كرده است، شناخت بيشتر هستي و ابعاد آن و تعيين جايگاه و مرتبه انسان و زندگي او در عوالم هستي است. نظريه‌هاي مختلف علمي دانشمندان علوم طبيعي در گذشته و حال و منابع ديني و كتب آسماني اديان مختلف،‌ خصوصا كتاب آسماني ما مسلمانان قرآن مجيد، انسان را در  شناخت و تصور بيشتر ابعاد هستي ياري داده‌اند.

اما، آنچه كه بعد از اين مقدمه به  دنبال طرح آن هستيم استفاده از رياضيات و مفاهيم والاي آن براي توضيح و درك ابعاد هستي است. ايده‌هاي اصلي اين موضوع از مطالعه كتاب «ابرفضا» نوشته فيزيكدان ژاپني، ميچيو كاكو گرفته شده است.

 فضاي يك بعدي همان خط راست( يا محور اعداد حقيقي) است. يك جسم يا موجود يك‌بعدي متعلق به اين فضا، فقط مي‌تواند حركت روبه جلو و عقب داشته باشد. فضاي 2 بعدي همان صفحه است كه شامل 2 مشخصه هندسي طول و عرض است. يك موجود 2بعدي برخلاف موجود يك بعدي علاوه بر حركت رو به جلو و عقب مي‌تواند به طرف راست و چپ نيز با هر زاويه‌اي و روي هر مسيري (نه لزوما مستقيم) حركت كند. فضاي خميده 2بعدي رويه يا سطح است كه بعدا به توصيف آن مي‌پردازيم.

فضاي 3بعدي (اقليدسي) همان فضايي است كه در آن زندگي مي‌كنيم كه شامل3 مشخصه طول و عرض و ارتفاع است در حالي كه مفهوم بالا و پايين براي يك موجود دو بعدي معنا ندارد و نمي‌تواند حركت رو به بالا  يا رو به پايين داشته باشد؛ اما يك موجود 3بعدي، ضمن حركت رو به جلو و عقب و رو به راست و چپ، مي‌تواند در جهت بالا و پايين نيز حركت كند.

 بايد توجه كرد كه موجود 2بعدي متوجه نقص و ناتواني خود در حركت رو به بالا و پايين نخواهد شد؛ زيرا اساسا حركت رو به بالا و پايين در فضاي 2بعدي معني ندارد. همچنان كه براي موجود 3بعدي در فضاي 3بعدي خود، تصور حركت غير از حركت مادي و معمول معني ندارد. اكنون به توصيف بيشتر موجودات 2بعدي و 3بعدي و نقش آنها نسبت به همديگر مي‌پردازيم. در بخش بعد نيز موجودات 3بعدي و 4بعدي (فرابعدي) را توصيف و نقش آنها را نسبت به همديگر بررسي خواهيم كرد.

در يك مثال روشن، موجودات(2بعدي) را مي‌توان همان خزنده‌هاي طبيعت خودمان تصور كرد. موجوداتي مثل مورچه‌ها و كرم‌ها و مارها كه نمي‌توانند بپرند و فقط مي‌توانند حركت جلو وعقب و چپ و راست داشته باشند. موجودات 2بعدي را مي‌توان با كشيدن يك دايره حول آنها، محصور و زنداني‌شان كرد.

در حالي كه اين موجودات مي‌توانند چيزهايي را از نگاه همنوعان خود كتمان كنند؛ ولي نمي‌توانند چيزي را از نگاه موجودات 3بعدي پنهان نگه دارند؛ زيرا موجودات 3بعدي به انحاي مختلف مي‌توانند در عالم موجودات2 بعدي هرطور كه بخواهند دخالت كنند. به عنوان مثال يك موجود 3بعدي مي‌تواند يكي از 2 بعدي‌ها را كه در داخل دايره محصور و زنداني هستند؛ به بيرون كشيده و از عالم 2بعدي‌ها خارج كند. اين كار براي همنوعان موجود 2بعدي امري خارق‌العاده و معجزه به نظر خواهد رسيد، در حالي كه براي موجود 3بعدي امري بديهي و عادي خواهد بود.

موضوع اين است كه اين كار(خارج ساختن 2بعدي‌ها به وسيله موجود 3بعدي )به چشم همنوعان 2بعدي چگونه ديده خواهد شد؟ بايد گفت كه اين كار به صورت لحظه‌اي بوده و موجود خارج شده از نگاه همنوعان آن غيب مي‌شود و اگر دوباره بخواهد برگردانده شود، آن هم لحظه‌اي، معجزه‌آسا خواهد بود. درست مثل باز شدن يك معكب(3 بعدي) به حالت 2بعدي .

موضوع ديگري كه بي‌ارتباط با بحث بعدي ما نخواهد بود، اين است كه موجودات 2 بعدي خود را در فضاي 2بعدي، در يك فضاي بيكران و نامحدود احساس مي‌كنند؛ ولي از نگاه يك موجود 3بعدي فضاي آنها محدود و از بين رفتني است.

 درست مثل مورچه‌اي كه داخل يك گودال بسيار كوچك افتاده و مرتب تقلا مي‌كند كه خودش را از اين اقيانوس بيكران! به ساحل برساند. در حالي كه همين اقيانوس بيكران از نظر او مي‌تواند زير پاي ما له شود و از بين برود. همچنين موضوع ديگري كه مي‌توان در مورد موجودات 2بعدي و فضاي آنها مطرح كرد، بحث انحناي فضاست كه مرتبط با نظريه‌هاي پيشرفته فيزيك جديد است.

فرض كنيد تعدادي از موجودات2 بعدي را روي صفحه كاغذي بريزيم و اين صفحه كاغذ را انحناء و تاب دهيم ( يا حتي آن را مچاله كنيم) اين كار براي آنها خيلي محسوس نخواهد بود چون آنها محل خيلي كوچكي از فضاي خودشان را اشغال كرده‌اند و فضاي خود را به طور موضعي حس مي‌كنند و مشكل است كه قبول كنند عالم آنها پيچ خورده و مچاله شده است.

 به عبارت ديگر فضاي 2 بعدي آنها از ديد خود آنها هميشه اقليدسي( صاف) است، در حالي كه براي موجودات 3بعدي فضا به طور موضعي اقليدسي ولي به طور سراسري نااقليدسي است و 3بعدي ‌ها اين موضوع را به طور بديهي مي‌پذيرند.

اكنون به توصيف موجودات 3بعدي و 4بعدي و نحوه ارتباط آنها نسبت به هم مي‌پردازيم.

بهترين مثال روشن براي تصور موجودات 3بعدي ما انسان‌هاي روي كره خاكي و براي تصور موجودات 4بعدي (فرابعدي) فرشتگان و ملائك، ارواح و كلا موجدات خداگونه‌اند.

همچنان كه در بخش قبلي گفته شد، موجودات 2بعدي مي‌توانند چيزهايي را از نگاه همنوعان خود مخفي نگهدارند ولي از نگاه موجودات 3بعدي نمي‌توانند چيزي را كتمان كنند، اينجا نيز موجودات 3بعدي مي‌توانند چيزها و پديده‌هايي را از نگاه همنوعان 3بعدي خود پنهان نگه دارند ولي نمي‌توانند ازنگاه 4بعدي‌ها مثل  فرشتگان مأذون الهي كتمان كنند.

 در واقع موجودات  مجدد مأذون از خدا  بر همه چيز و بر همه عالم ما مسلط هستند و همه گونه مي‌توانند در عالم 3بعدي مادخالت كنند. اشاره آيه قرآن كه مي‌فرمايد: انسان هميشه در محضر خداست و ما (خدا) از رگ‌هاي گردن او به او نزديك‌تريم.» در تفسيري مؤيد اين مطلب است.

موضوع بعدي كه در مقايسه با بخش قبل مي‌تواند مفيد واقع شود، بحث امكان حركت‌هاي غيرمادي در فضاي خارج از فضاي 3بعدي است. اين‌گونه حركت‌ها براي ما انسان‌هاي 3بعدي غيرقابل تصور و غيرممكن است. اما وجود اين نوع حركت‌ها در فضايي با ابعاد بالاتر نبايد به خاطر عدم امكان تصور فيزيكي ما از آنها،‌رد شود چرا كه مطابق نكاتي كه در بخش قبلي مطرح شد، حركت رو به بالا و پايين نيز براي موجودات 3بعدي غيرممكن و بي‌معني است ولي براي ما انسان‌ها امري بديهي و شدني است.

بنابراين از نقطه نظر علمي روايت‌ها و داستان‌هايي كه بعضا در منابع ديني و عرفاني ما آمده است، نه تنها در فضاي مربوطه عملي هستند بلكه براي خود آنها (موجودات خداگونه) امري بديهي و پيش پا افتاده است.

در آخر به بحث نظريه فيزيك در مورد انحنا و و پيچ خوردگي عالم 3بعدي، مي‌پردازيم. طبق نظريه‌هاي جديد فيزيك منشا نيروي گرانش در مقياس‌هاي كيهاني و كهكشاني ، جاذبه‌ اجسام و كرات نيست( مطابق فيزيك كلاسيك و فيزيك نيوتني منشا نيروي گرانش جاذبه كره زمين است) بلكه اين نيروها به انحنا و پيچ خوردگي عالم مربوط مي‌شود. در واقع طبق اين نظريه‌ها، عالم 3بعدي ما به طور موضعي اقليدسي (صاف) ولي به طور سراسري نااقليدسي است.

يك روش براي درك اين موضوع، يادآوري انحنا و پيچ‌خوردگي صفحه كاغذ مربوط به موجودات 2بعدي است كه قبلا مطرح شد. انحنا و تاب خوردگي صفحه كاغذ براي ما امري بديهي و به طور سراسري،‌ نااقليدسي بودن آن روشن است،‌ در حالي كه انحنا وپيچ خوردگي صفحه كاغذ براي ساكنان 2بعدي، قابل تصور نيست.

از طرفي خميدگي زمان به اين معناست كه گذر زمان در فضاي زندگي ما به طور خطي و اقليدسي است و زمان با سرعت يكنواخت و با رابطه خطي مي‌گذرد و تغيير مي‌كند. اين خاصيت گذر زمان نيز به طور موضعي خطي است ولي به طور سراسري و در ابعاد وسيع و مقياس‌هاي كيهاني، تغيير زمان غيرخطي است. اين موضوع به اتساع زمان موسوم است، يعني گذر زمان در فضاي خارج از ما مي‌تواند فشرده و انقباضي باشد. اين موضوع را نظريه نسبيت نيز تاييد مي‌كند.

 منبع: روزنامه همشهری

از زمانی که وبلاگمو آپدیت نمی کردم دوستان زیادی خواسته بودن که حداقل هر ماه یه مطلب جدیدی تو وبلاگم بذارم. منم تصمیم گرفتم که این کارو بکنم/ دوست داشتم خود ریاضیدانان جوان بگن در مورد چه مطلبی بنویسم. من منتظر نظرات شما هستم.

با عرض پوزش از اینکه نتونستم تو این چند مدت وبلاگمو آپ کنم. راستش مشکلات درسی و همچنین آماده شدن برای کنکور کارشناسی ارشد باعث شده که نتونم یادی از شما دوستان کنم/. قصد دارم یه وبلاگ جدید آماده کنم به همین خاطر از کسانی که می خوان تو این زمینه کمکم کنند و به عنوان نویسنده اول یا دوم تو این وادی مرا همراهی کنند درخواست همکاری دارم. من منتظر نظرات شما عزیزان هستم.

با تشکر مدیر وبلاگ مرسن

«رونالد فیشر» پایه گذار آمار

تقریبا هر روز در روزنامه ها و مجلات می خوانیم و یا در کتابهای علمی جملاتی را مشاهده می کنیم. مانند این که سیگار کشيدن موجب سرطان ريه می شود، ورزش کردن در جلوگیری از بیماریهای قلبی موثر است و غیره. دلیل درستی این اظهار نظرها چیست؟ شواهد آماری. برای تولید یک دارو شرکت داروسازی باید داروی خود را روی گروهی از بیماران آزمایش کند و در صورتی که نتایج ازمایشها نشان دهد مزایای دارو از نظر آماری معنی دار است اجازه عرضه آن را می دهند. اگر ذهن درخشان رونالد آیلمر فیشر نبود چنین نتایجی حاصل نمی شد.

این نابغه تند مزاج کسی بود که نشان داد چگونه می توان از میان داده های خام حقایق محکم علمی را استخراج کرد. فیشر یکی از تاثیر گذارترین دانشمندان قرن بیستم بوده است. یافته های جدید بر پایه مفاهیمی استوارند که او ابداع کرده است مانند p یا تحلیل واریانس و... او روشی یافت که از طریق آن می شد با داشتن نتایج سفرهای اکتشافی جانوران جدید و تعداد گونه های جانوری موجود در زمین را که هنوز کشف نشده بود تخمین زد. مانندتعداد پروانه های کشف نشده یا مطرح کردن نظریه کرانه ای که به واسطه آن می توان رویداد های گذشته نظیر سیل ها یا زمین لرزه ها و برآورد احتمال وقوع رویدادها در طی هزاران سال اینده را نشان داد.

وی در سال1890 در لندن  به دنیا آمد و در خانواده آنها کسی به مقوله های علمی تمایل نشان نداده بود. وی این مهارتها و علاقه مندی به اعداد را در سنین پائین از خود نشان داد. البته چشمهای فیشر بسیار ضعیف بود و در سن نوجوانی این ضعف فعالیت های وی را محدود می کرد به طوریکه به توسعه پزشکان نمی توانست در نور مصنوعی کار کند پس مجبور شد تا به جای استفاده از کاغذ و قلم تنها از ذهن خود برای تصویر کشیدن مسائل کمک بگیرد. برای این کار روشهای هندسی مخصوصی را ابداع کرد که سایر ریاضیدانان با روشهای عادی از حل مسائل درمانده بودند. در دانشگاه، وی در زمینه ریاضیات و زیست شناسی معلوماتی فراتر از هم سن و سالان خود داشت.

دانشمندان ظهور روشهای آماری را احساس می کردند که برای آزمون نظریات آنها مفید واقع می شود. ولی کاربردی شدن آن مستلزم حجم زیادی داده ها برای بدست آورد نتایج قابل احتمال بود که آنها در اختیار نداشتند. فیشر تصمیم گرفت تا راههایی برای استخراج قابل اعتماد ترین نتایج از میان حجم کم داده ها بیابد. کلید این کار، بیرون کشیدن بیشترین حجم ممکن اطلاعات از میان داده های موجود است. قاعده ریاضی «احتمال حداکثر» و سپس «آماره های کافی»را یافت. محصولات کشاورزی – روش تحلیل واریانس این امکان را فراهم اورد تا با انجام یک ازمایش بتوان همزمان به سئوالهای زیادی پاسخ بدهد در هر آزمایش تنها یک عامل را می توان بررسی کرد و سایر عوامل راثابت نگه داشت.

از کتاب علمی وی می توان روشهای آماری برای پژوهشگران را نام برد. این کتاب موهبتی الهی بود برای تحلیل داده ها و علی رغم انتقادها، روشهای وی به شکل گسترده ای مورد استفاده قرار گرفت و«آزمایش معنی دار بودن» برای کنترل نتیجه بر حسب واقعیت یا شانس بیشتر مورد تایید قرار گرفت. چرا که فیشر «مقدار p » را ابداع کرد که «یک به 20» عنوان شد و در تمام آزمایشها تنها زمانی نتیجه قابل اعتنا بود که مقدار p آن مشخص شده باشد.

سرانجام در سال 1957 فیشر بازنشسته و به استرالیا مهاجرت کرد و در اثر ابتلا به سرطان از دنیا رفت. شاید کمتر کسی مانند او توان ریاضی خود را در اختیار همه انسانها گذاشته است.

در این مقاله سعی داریم نگاهی گذرا به تاریخچه مربع جادویی (وفقی) بیافکنیم و راه حلی که چکیده اندیشه دانشمندان صاحب نام است ارائه دهیم. بشر از گذشته های دور مجذوب نیروی شگفت آور اعداد بوده است به طوری که یکی از سرگرمیهای او بازی با اعداد بود. اعداد بعدها از حالت بازی خارج شد و جنبه سحر و جادو به خود گرفت و مشتی عوام فریب به عنوان رمال و دعا نویس برای پیش برد کار خود از اعداد استفاده می کردند.

در میان بازی با عدد –اعداد جادویی همواره مقام والایی داشته است چنانچه امام محمد غزالی فیلسوف و دانشمند بزرگ ایرانی رساله ای در این باب به زبان فارسی دارد.از اسناد و مدارک موجود می باید کشور چین را زادگاه مربع جادویی جهان دانست زیرا قدیمیترین جایی که از آن نام برده شده است کتابیست چینی که حدود چهار تا پنج هزار سال پیش از میلاد مسیح نوشته شده است.

این مربع جادویی 9 خانه ای است و اعداد فرد به صورت دایره های سفید و اعداد زوج به صورت دایره های سیاه ترسیم شده است. قدیمیترین مربع جادویی اروپا در تابلوی « افسردگی » اثر « آلبرشت دیورر » نقاش آلمانی نقش شده است که سال ترسیم آن 1514 میلادی است این مربع شبیه مربع جادوی هندیهاست که دو هزار سال از عمر آن می  گذرد.

گوته شاعر بزرگ آلمانی در شاهکار فنا ناپذیر خود « فاوست » صحنه ای را مختص ساختن اکسیر جوانی می کند آنهم با فرمول مربع وفقی. او می نویسد:

تو باید بفهمی

یک را 10 کن

و از 2 بگذر

و همچنین از 3

تا انجا که

حذف کنی 4 را

جادوگر چنین گوید

5 و 6 را

7 و 8 کن ( و بر عکس )

و 9 و 1

و 10 هیچ است

یک در یک جادوگر اینست.

با کمی دقت معلوم می شود که مربع جادویی او کامل نیست. قدر مسلم او با مربعهای وفقی آشنایی داست زیرا بارها از تابلوی « افسردگی » دیورر سخن گفته و به نکات علمی آن اشاره کرده است ولی در قطعه بالا خواسته است بغض و کینه دیرینه خود را نسبت به ریاضیدانان زمان خود ظاهر سازد با این وجود نمی توان منکر این حقیقت شد که گوته مجذوب مربع وفقی بود در غیر اینصورت هرگز آن را به شعر در نمی آورد و در شاهکار خود جاودانی نمی کرد.

آزموني ساده: ساده ترين اشكال هندسي را به ياد بياوريد: مربع، مستطيل، مثلث، دايره، منحني پس خيلي سريع و بدون اينكه زياد به مغزتان فشار بياوريد، شكلي را انتخاب كنيد كه بيشتر از همه مي پسنديد. آزموني روانشناسي پيش روي شماست، كه با توجه انتخابتان به سرعت نشان مي دهد كه شما در زندگي چه جور آدمي هستيد و احتمال موفقيتتان در چه مشاغلي بيشتر است.

مربع: كساني اند كه در محيط پايدار بيشترين احساس آرامش را دارند و مسير كارهايشان به طور كامل آشكار است. چنين اشخاصي محافظه كارند و دوست دارند كه همه چيز مرتب و منظم باشد. وظيفه شناس اند و اگر كاري را به آنها محول كنيد، آنقدر روي آن وقت مي گذارند تا تمام شود حتي اگر كاري تكراري و طاقت فرسا باشد و مجبور شوند كه بتنهايي آن را انجام دهند.

مستطيل: پايبند بودن از اصول مشخصه آنهاست، نظم و ترتيب را دوست دارند ولي آن را با سازماندهي دقيق اجرا مي كنند اين امر سبب مي شود تا راههاي مناسبي را انتخاب و همه قواعد و مقررات را بررسي كنند. اگر وظيفه اي را به اين اشخاص محول كنيد ابتدا آن را به خوبي سازماندهي مي كنند تا اطمينان يابند كه به طور اصولي اجرا خواهد شد.

آنهايي كه مثلث را انتخاب مي كنند: اشخاصي هدف گرايند و از برنامه ريزي قبل از انجام دادن كارها لذت مي برند و به طرح موضوع و برنامه هاي بزرگ و بلند مدت تمايل دارند اما ممكن است كه مسائل جزئي را فراموش كنند اگر كاري را بر عهده آنان بگذاريد، ابتدا هدفي را براي آن تعيين و سپس با برنامه ريزي كار را آغاز مي كنند.

آنهايي كه دايره را انتخاب مي كنند: اجتماعي و خوش صحبت اند و هيچ لحن خشني ندارند و امور را با صحبت كردن درباره آن تنظيم مي كنند و نخستين اولويتشان در زندگي ارتباطات است. مطمئن باشيد كه اگر وظيفه اي را به آنها محول كنيد آنقدر درباره آن صحبت مي كنند تا هماهنگي لازم براي به انجام رسيدن آن كار ايجاد شود.

منحني: خلاقيت در آنها موج مي زند و اغلب كارهاي جديد و متفاوتي انجام مي دهند. نظم و ترتيب برايشان كسالت آور است. اگر تكليفي را براي آنها در نظر بگيريد طرهحاي خوب و مطمئني براي آنها ابداع مي كنند.

نتيجه گيري: به طور كلي افرادي كه سه شكل اول يعني مربع، مستطيل، مثلث را انتخاب مي كنند در مسير ويژه اي حركت مي كنند و كارها را به طور منطقي و اصولي انجام مي دهند ولي ممكن است خلاقيت كمي داشته باشند گزينش دايره و منحني نشان دهنده خلاقيت و برونگرايي است چنين افرادي به موقعيتهاي جديد دسترسي پيدا مي كنند ولي چندان اصولگرا و اعتماد كردني نيستند.

كاربرد: اين آزمون براي ارزيابي افراد نسبت به موقعيت شغليشان كاربرد دارد اگر شما به شدت علاقه منديد كه كاري خاص و اصولي انجام دهيد، فردي مربع دوست مي تواند همكار خوبي برايتان باشد همچنين اينگونه افراد براي كارهاي حسابرسي هم مناسب اند. اگر كارها به سازماندهي گروهي نياز داشته باشد مثلث دوستان، در پيشبرد آنها موفق خواهند بود. اين افراد مي توانند مجري خوبي هم باشند چون اهداف را مشخص مي كنند و اطمينان مي يابند كه دستيابي به آنها ممكن است. براي هر نوع ارتباطات حضوري، افرادي كه دايره را انتخاب مي كنند بهترين اند. آنان مي توانند كارمند خوب يا مسئول پذيرش و يا فردي باشند كه به مشتريان خود خدمات مناسبي عرضه مي كنند. در آخر افرادي كه به منحني علاقه دارند هميشه طرحهاي تازه دارند و براي كار در شركتهاي تبليغاتي مناسبند.

سلام خدمت تمامی ریاضی دوستان

نمی دونم سئوالات من آسون بود و شما به خاطر اسون بودنش جواب ندادین. یا چی بگم به هر حال حل جوابها در قسمت پائین آورده شده امیدوارم که بتونم کمکی کرده باشم.

با تشکر مدیر وبلاگ

۱- حاصل ضرب این ضرب را می توان اینطور نوشت:

BBB = B × 111 = B ×3 ×37

چون 37 عددی اول است بنابراین یکی از دو عامل ضرب (AB یا CD) می تواند 37 یا 74 باشد در اینصورت عامل دیگر به ترتیب برابر B ×3 یا (B × 3 ) ÷ 2 خواهد شد. در حالت دوم B باید رقمی زوج باشد. و چون داریم      (B × 3 ) ÷ 2 > 10

 بنابراین تنها B = 8 ممکن است. ولی جوابی که از این راه بدست می آید: 74  × 12 = 888 با یکی از شرط های مسئله نمی سازد (باید هر رقم حاصل ضرب برابر رقم یکان یکی از دو عامل ضرب باشد) در نتیجه یکی از دو عامل ضرب تنها 37 می تواند باشد اگر عامل اول ضرب را 37 بگیریم حاصل ضرب باید 777 شود که در این صورت عامل دوم ضرب برابر 21 می شود. ولی اگر عامل دوم ضرب را 37 فرض کنیم باید داشته باشیم

10 A + B = 3B Þ 5A = B

که از آنجا A = 1 و B = 5 بدست می آید. به این ترتیب برای مساله دو جواب پیدا می شود:

37 × 21 = 777

15 × 37 = 555

2- فرض می کنیم که (n+1) امین جمله تصاعد اول با (m+1) امین جمله تصاعد دوم برابر باشد. (n+1) امین جمله تصاعد اول برابر است با 2 + 5n و (m+1) امین جمله تصاعد دوم برابر است با 2 + 3m و بنابراین فرض باید داشته باشیم:

2 + 5n = 2 + 3m Þ n = 3m/5

اگر m برابر با 5  , 10 , 15 و غیره باشد  برای n به ترتیب عددهای 3 , 6 , 9 و ... بدست می آید. از آنجا می بینیم که جمله های برابر عبارتند از هر سه جمله یکبار در تصاعد اول و هر پنج جمله یکبار در تصاعد دوم. بنابراین تعداد جمله های مساوی در 60 جمله تصاعدها برابر است با 60 ÷ 5 = 12  

3-  دو راه حل برای این مساله داریم . شما هم می توانید راه حل های دیگری پیدا کنید:

(2 × 2 × 2) – (2 ÷ 2) = 7

(22 ÷ 2) – 2²  = 7

4- از راه حل های ممکن چند تا را در اینجا آورده ایم:

97524 ÷ 10836 = 9

95823 ÷ 10647 = 9

95742 ÷ 10638 = 9

0 × 12345678 + 9 = 9

1^23456790  + 8 = 9

1- در اين ضرب، هر حرف نماينده يک رقم، حرف های مساوی نماينده رقم های مساوی و حرف های مختلف نماينده رقم های مختلف است. رقم ها را مشخص کنيد:

AB × CD = BBB

2- اگر هر کدام از دو تصاعد حسابی

... 27   22   17   12   7   2

... 17   14   11   8   5   2

را تا 60 جمله بنويسيم چند جمله مساوی در دو تصاعد وجود خواهد داشت؟

3- برای بدست آوردن عدد 7 پنج بار از عدد 2 استفاده کنيد.

4- آيا می توانيد با استفاده از تمامی ده رقم از 0 تا 9 عدد ((9)) را بدست آوريد؟

سه جمله ای اويلر

فرض کنيد f(x) = x² + x + 41  در آنصورت:

f(2) = 47

f(3) = 53

f(7) = 97

f(12) = 197

مجموع f(2) + f(3) + f(7)  را با f(12) مقايسه می کنيم، معلوم می شود:

f(2) + f(3) + f(7) = f(2+3+7)

همچنين اين رابطه نيز درست است:

f(-2) + f(-3) + f(-7) = f(-2-3-7)

می دانيم که f(x) = x² + x + 41 به ازای عددهای درست پشت سر هم از x = 0 تا x =39  همواره برابر با عددی اول می شود:

f(0) = 41 ، f(1) =  ، 43f(2) =  ، ... ، 47f(39) = 1601

ولی f(40) = 41² ، عددی مرکب است. بين f(41) و f(76) سی عدد اول وجود دارد که طبق قانون معينی بدست می آيند. ولی اين قانون برای مقادير بعد از f(76) صدق نمی کند.

منبع:کتاب آشتی با رياضيات سال سوم شماره 12